希尔伯特的营救

正是20世纪的20年代，希尔伯特掀起了一场令人瞩目的运动，那就是用数学来证明数学本身的合理性。

从莱布尼茨和牛顿创立微积分到大卫·希尔伯特成为数学家，在这两个世纪里，不少人都发现极限过程可以漂亮地应用于许多方面。在这些结果中，有很多是通过对符号的纯形式操作来获得的，人们对它们背后的含义并未作过多的考虑。但是到了19世纪中期，清算之日还是来临了，需要对符号进行概念理解的问题层出不穷。

希尔伯特挑战康托尔的对手利奥波德·克隆内克主张德存在德数学证明应当是构造性德。许多读者都很熟悉，√2是一个无理数。根据这个事实，就可以对下述定理给出一个优美的非构造性的证明：存在着无理数a和b，使得a^b是有理数。

在证明过程中，我们用字母q＝a^b表示√2^√2.现在，q必然或者是有理数，或者是无理数。如果q是有理数，那么我们就可以设a＝b＝√2而得到需要证明的结果。如果q是无理数，那么我们可以设a＝q，b＝√2，然后，

a^b = q^√2 = ((√2)^(√2))^√2 = √2^(√2·√2) = (√2)^2 = 2

于是，我们又一次得到，一个无理数的无理数幂次结果为一个有理数。这个证明是非构造性的，因为它并没有给出满足该定理的具体的a和b，而仅仅给出了两种可能性，其中之一必定成立。

他这样向学生来解释这种区分，即在礼堂中所有听讲的学生中（他们中没有人是完全秃顶的），总有一个学生是头发最少的，尽管他没有明确的办法来识别出这个学生。

希尔伯特早期的胜利

这个世界是不断变化的，但有些东西却是不变的。数学家们通常关心的正是找到那些能够在其他事物变化时保持不变的东西。这时，他们谈论在某些变换下保持不变的那些东西。

乔治·布尔在一篇早期的论文中开创了对所谓代数不变量的研究。在代数不变量理论中，所谓的幺模变换是特别令人感兴趣的。这些变换的形式是，用表达式(py + q) / (ry + s)来代换一个方程中的一个未知量（比如x），其中y是一个新的未知量，p，q，r，s是使用ps-rq=1或-1的特定的数。布尔发现对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0, 表达式b^2 - 4ac(方程的判别式),在这种幺模变换下是一个不变量：

在给定的二次方程中做了所说的代换并清除了分数之后，一个以y为未知数的新的二次方程就产生了。这个方程可以写成Ay^2 + By + C = 0，其中A，B，C取决于a, b, c, p, q, r, s所有这些量。b^2 - 4ac是不变量的意思是，新的方程的判别式与给定的方程的判别式是相同的，即b^2 - 4ac = B^2 - 4AC.

如果没有ps-rq=+1或ps-rq=-1这个特定条件，这两个判别式的关系就是：

B^2 - 4AC = (b^2 - 4ac)(ps -rq)^2

希尔伯特靠抽象思维的力量，证明了果尔丹的猜想——在考虑一个特定的代数表达式的所有不变量时，总是会有几个主要的不变量，借助它们，所有其他的不变量都可以用一个简单的公式来表达。

1898年的秋季学期，希尔伯特开设一门“欧几里德几何原理”课程，对几何基础的一种全新的发展。这是希尔伯特对数学基础保有深刻兴趣的第一个迹象。

面向一个新世纪

1900年8月，在巴黎一次国际会议，希尔伯特列举了23个用当时的方法似乎很难解决的问题。

希尔伯特列出的第一个问题就是康托尔的连续统假设（即没有集合的基数介于自然自然数集合与由所有自然数集所组成的集合的基数之间）是否为真。在悖论的威胁对克隆内克的否定态度极为有利的这个时期，这是对康托尔的超限数的明确肯定。

第二个问题是希尔伯特对欧几里得几何学公理一致性的证明所留下的问题——为实数的算数建立公理的一致性。这个问题也为希尔伯特创造了一个机会来解释数学上的存在性的含义。希尔伯特看来，存在性只要求能够证明，假设这些对象存在并不会导致矛盾：“如果可以通过有限次的逻辑过程证明，赋予一个概念的性质永远不会导致矛盾，那么我们就可以说，这个概念的数学存在性……就被证明了。”

根据希尔伯特的说法，既然假定一切康托尔的超限基数所组成的几何的存在会导致矛盾，那么这表明这样一个集合并不存在。

克隆内克的幽灵

1904年召开国际数学家大会，希尔伯特在会上所作的报告中略述了算术的一致性证明可能采取的形式，并且指出，这个证明可以被扩展到把康托尔的超限数也包括进来。

伯特兰·罗素一直希望能够发展出一种符号逻辑体系，利用这种体系就可以实现弗雷格把算术还原为纯逻辑的计划而不会导致悖论。

伯兰特·罗素挽救弗雷格计划努力体现于罗素与阿尔弗雷德·诺斯·怀特海合写的三卷本巨著《数学原理》。这部著作从弗雷格《概念文字》的纯逻辑开始，以清楚明白的数学为结束，中间是简单而直接的步骤，它完全体现了庞加莱的芝加哥机器的精神。

很容易理解，要证明一个定理，知道它是什么意思并不是必需的，甚至也不是有用的……我们可以想象这样一台机器，我们从一端输入公理，从另一端就可以输出定理，就像芝加哥那台传说中的机器一样，猪活着进去，出来的就是火腿和香肠。数学家和这些机器都不需要知道自己正在做什么。

《数学原理》还因一种背后的混淆而受到损害。弗雷格已经清楚地认识到他正在处理两总层次的语言——他正在构造的一种新的形式语言以及可以谈论这种新语言的日常用语，但怀特海与罗素的这部著作在这个问题上却不够清楚，它把这两个层次混在一起了。这就意味着，在希尔伯特看来如此重要的整个结构的一致性问题在罗素的语境下甚至就不会出现。

尽管如此，《数学原理》仍然是一个里程碑式的成就，它一劳永逸地证明了，在一个符号逻辑系统中对数学进行完全的形式化是绝对可行的。

自觉主义

在布劳威尔看来，数学就存在于数学家的意识中，它最终导源于时间这个“数学的原初直观”。真正的数学在数学家的直观中，而不在语言的表达中。数学非但不是逻辑（如弗雷格和罗素所主张的），逻辑本身倒是来源于数学。

元数学

希尔伯特从怀特海－罗素《数学原理》的逻辑系统开始，认为他们所创立的符号系统是至关重要的。在希尔伯特的新纲领中，数学与逻辑将通过一种纯形式的符号语言被发展出来。这样一种语言可以从“内部”和“外部”来看。从内部看，它就是数学，每一步演绎都可以完全弄清楚。但是从外部看，它仅仅是许多公式和符号操作，它们可以在不考虑意义的情况下进行演算。这里的任务是要证明，从这种语言中导出的任何两个公式都不会彼此矛盾，或者等价地说（正如后来所表明的情况那样），像1=1或0≠1这样的公式是不可能导出的。

希尔伯特的大胆猜想是一种全新的数学，他称之为元数学或证明论。一致性证明将在元数学内部完成。尽管在形式系统内部，每一种数学方法都可以被不加限制地应用，但元数学方法却要严格限于那些被希尔伯特称为“有限性”（finitary）的无可争议的方法。在他的方法所要营救的数学“宝藏”中，希尔伯特强调指出要把康托尔的超限数包括进来。

直觉主义之所以能够存活下来，是因为对包含他的思想的形式逻辑系统的研究。其中有些系统实际上已经成了实现形式演绎的计算机程序的基础。

当然，希尔伯特纲领所提出的主要问题就是它最初的问题：算术的一致性问题。阿克曼和冯·诺伊曼研究了这个问题，并且取得了部分成果。1928年，希尔伯特和他的学生阿克曼出版了一本薄薄的逻辑课本，这本书是基于希尔伯特（在贝尔奈斯的协助下）自1917年以来的授课内容写成的。书中提出了两个关于弗雷格《概念文字》的基本逻辑（后来被称为一阶逻辑）的问题。从某种意义上所，这两个问题已经流传了一段时间，但正是希尔伯特对逻辑系统可以从外部进行研究的这种眼光，才造就了表达它们的清晰形式。

其中一个问题是证明一节逻辑的完备性，即任何一个从外部看来有效的公式都可以只用课本中提出的规则从系统内部导出。第二个问题以希尔伯特的“判定问题”（Entscheidungsproblem）而闻名，即对于一个一阶逻辑的公式，如何找到一种方法，可以在定义明确的有限的步骤内判定这个公式是否有效的。

1928年国际数学大会的演讲中，希尔伯特提出了一个关于形式系统的问题，这个系统建立在把一阶逻辑规则应用于现在被称为皮亚诺算术或PA的自然数公理系统的基础上。希尔伯特希望能证明PA是完备的，也就是说，任何一个可以在PA中表出的命题，或者可以在PA中被证明为真，或者可以在PA中被证明为假。

冯·诺伊曼意识到希尔伯特的纲领不可能成功

当希尔伯特1930年退休时，他应邀于科尼斯堡在德国科学家和医生协会的会议上作了一场特殊的讲演。希尔伯特特地选了一个较具一般性的主题：自然科学与逻辑。在这篇内容广泛的演说中，他强调了数学在科学中以及逻辑在数学中所扮演的极端重要的角色。带着他那一贯的乐观主义，他坚持说不存在不能解决的问题。

就在希尔伯特发表演讲的前几天，一个关于数学基础的研讨会在科尼斯堡召开了。在会议结束事的圆桌讨论会中，一个名叫库尔特·哥德尔的羞怯的年轻人（我们下一章的主题）不动声色地作了一项声明，对于那些领会了其要旨的人们来说，这标志了基础研究中的一个新的时代。冯·诺伊曼立刻意识到一切都结束了——希尔伯特的纲领是不可能成功的。