莱布尼茨之梦

莱布尼茨的眼光惊人地广阔和宏大。他为微积分运算而发明的符号一直沿用至今，这使得人们不用过多思考就可以很容易地进行复杂的演算。实际进行工作的似乎就是那些符号。在莱布尼茨看来，我们对整个人类知识领域也可实施类似的举措。他梦想对一种普通的人工教学语言和演算规则进行一种百科全书式的汇编，知识的任何一个方面都可以用这种数学语言表达出来，而演算规则将揭示这些命题之间所有的逻辑关系。

莱布尼茨的奇思妙想

当莱布尼茨只有10岁时，他的老师就把亚里士多德于两千年前提出的逻辑系统介绍给莱布尼茨。莱布尼茨对亚里士多德把概念分成固定的“范畴”着了迷，产生了一种“奇思妙想”：他想寻求这样一张特殊的字母表。有了这样一个符号系统，就可以发展出一种语言，我们仅凭符号演算，就可以确定用这种语言写成的哪些句子为真，以及它们之间存在着什么样的逻辑关系。

关于一个概念符号系统的奇思妙想的第一步，莱布尼茨预见到计算出这些概念有多少种不同的组合方式是有必要的。

巴黎

1674年，莱布尼茨描述了一种能够解代数方程的机器。一年之后，他为一种机器装置写了相应的逻辑推理，这样就指出了一个目标，即把推理归结为一种演算，并且最终制成能够完成这些演算的机器。

17世纪数学研究的迅速发展主要得益于两项主要进展：

处理代数表达式技巧系统化
用一组组的数对表示点而把几何还原为代数。

用最终结果的近似值逼到极限才能获得一个精确解。

莱布尼茨级数

通过一种特别简洁的方式把奇数序列与π这个数继而与圆的面积联系了起来。这是可以利用极限过程来解决的一类问题——确定边界为曲线的图形的面积——的一个例子。

另一类可以利用极限来解决的问题是确定准确的变化率，比如一个运动物体不断变化的速度。

莱布尼茨发现，计算面积和变化率的问题从某种意义上说很有代表性，因为许多不同种类的问题都可以还原为这两类问题中的某一类。
他还认识到，求解这两类问题的数学运算实际上彼此相反，这在很大成都上就如同加法和减法（或乘法和除法）运算彼此相反一样。今天，这些运算分别被称为积分和微分，它们彼此相反之一事实以“微积分基本定理”而闻名。
莱布尼茨为这些运算发展出了一套恰当的符号系统（这些符号一直被沿用至今），∫表示积分，d表示微分。

表示积分的符号∫其实是字母“S”的变形，暗示“和”（sum）；类似地，符号“d”暗示者“差异”（difference）。

与本书的主题密切相关的是，莱布尼茨的成功使他确信，选取恰当的符号并且定出它们的操作规则是极为重要的。∫和d这些符号代表着概念，这样就为莱布尼茨童年时的那种代表着一切基本概念的符号系统的奇思妙想提供了一个模型。

汉诺威

莱布尼茨一直深信不疑的是上帝在创始方面做的足够好，所以在存在的事物与可能的事物之间必定存在着一种前定和谐，世界上的任何一个事物都有一个充足理由（无论是否能够发现它）。

普遍文字

那么，莱布尼茨青年时的奇思妙想，即找到一个人类思想的真正的符号系统以及操纵这些符号的恰当的计算工具的宏伟梦想怎样了呢？

在莱布尼茨看来，算术和代数中所使用的特殊符号，化学和天文学中所使用的符号以及他为微积分运算引入的符号都提供了范例，说明一个真正合适的符号系统是多么重要。莱布尼茨把这样一个符号系统称为一种文字（characteristic）。

与没有实际含义的字母表中的符号不同，在他看来，刚才所说的那些例子都是一种真实的文字，每一个字符都以一种自然而恰当的方式表示某个确定的观念。莱布尼茨认为，我们需要的是一种普遍文字（universal characteristic），即一个不仅真实，而且包含了人类全部思想领域的符号系统。

这种文字是由某种符号或语言构成的，它们完全代表了我们观念之间的关系。这种文字的符号将会有助于发明和判断，就像在代数和算术中那样。

当莱布尼茨发现任何数都可以仅仅用0和1表示出现即二进制时，他被这一系统的简洁深深震撼了。他相信揭示出数的深层性质是有用的，并且考虑这种二进制记法与现代计算机之间的关联。

莱布尼茨认为他的宏伟计划由三个主要部分组成。首先，在合适的符号被选择出来之前，有必要创造一套涵盖人类知识全部范围的纲要或百科全书。然后，对其背后的观念进行选择，并为其中的每一个提供合适的符号。最后，演绎规则可以归结为对这些符号的操作，也就是莱布尼茨所说的“推理演算”（calculus ratiocinator）。

对莱布尼茨而言，世界上绝对没有任何事物是偶然的或未被决定的；任何事物都遵循着一个计划。因此，世界的一切方面，无论是自然的还是超自然的，都是有关联的，我们可以冀望通过理性的方法来发现这些关联。

莱布尼茨提出的逻辑代数足足超前于他的时代一个半世纪，就像普通代数规定了素质的操作规则那样，这种袋鼠清楚地规定了逻辑概念的操作规则。这一思想有些类似于把两组事物合为一组事物。他引入了一种特殊的新符号⊕来表示把各项组合在一起。

从某种程度来说，适用于数的规则也适用于逻辑概念，但还有一些规则是相当不同于那些适用于数的规则的。属于后一类规则的最明显的例子是莱布尼茨的公理2，即A⊕A＝A，正是大体相同的背景之下，乔治·布尔使这条规则成为了其逻辑代数的基础。这条规则说的是这样一个事实，即把若干项与其自身进行组合将不会产生任何新的东西。显然，把某一组事物与同一组事物进行组合，得到的仍将是同一组事物。当然，数的加法是非常不同的：2+2＝4，而不是等于2.

定义3 A在L之内或者L包含A，等价于L可以与以A为其中一项的许多项相一致。B⊕N＝L表示B在L之内，B与N共同组成了L。更多数目的项的情形也是一样。

公理1 B⊕N＝N⊕B

公设任意多的项，比如A和B，可以被加在一起组成一项A⊕B。

公理2 A⊕A＝A

命题5 如果A在B之内且A＝C，则C在B之内。
如果把命题中的A在B之内中的A替换为C，就得到了C在B之内。

命题6 如果C在B之内且A＝B，则C在A之内。
如果把命题中的C在B之内中的B替换为A，就得到了C在A之内。

命题7 A在A之内
因为（根据定义3）A在A⊕A之内，所以（根据命题6）A在A之中。

命题20 如果A在M之内且B在N之内，则A⊕B在M⊕N之内。