弗雷格：从突破到绝望

弗雷格提出了把普通数学中一切演绎推理都包含在内的第一个完备的逻辑体系，他用逻辑分析工具来研究语言。

弗雷格的概念文字

1879年，他出版了一本不到100页的小册子，名为《概念文字》。其副标题是：“一种模仿算数语言构造的纯思维的形式语言”。

弗雷格试图找到一个能够包含数学实践中全部演绎推理的逻辑系统。布尔把普通代数作为出发点，用代数符号来表示逻辑关系。就像其他的数学分支那样，由于弗雷格想以他的逻辑为基础而把代数构造出来，所以引入自己的特殊符号来表示逻辑关系以避免混乱是很重要的。

布尔曾经认为用于表示其他命题之间关系的命题是二阶命题，在这里，弗雷格发现那些连接命题的关系也可被用于分析命题的结构，他把这些关系充当了他的逻辑的基础。后来这一重要思想被普遍接受，成为了现代逻辑的基础。

例如，弗雷格会用逻辑关系如果……，那么……来分析句子

所有的马都是哺乳动物。

即

如果x是一匹马，那么x是一个哺乳动物。

类似地，他会用逻辑关系……且……来分析句子

有些马是纯种的。

即

x是一匹马，且x是纯种的。

然而，在这两个例子中，字母x的用法是不同的。在第一个例子中，我们想说的是，无论x可能是什么，即对于任何x，所断言的都为真。但在第二个例子中，我们想断言的只是对于某个x。

在目前使用的符号体系中，对于任何被记作∀，对于某个被记作∃。于是，两个句子可以写为如下形式：

(∀x)（如果x是一匹马，那么x是一个哺乳动物），
(∃x)（x是一匹马，且x是纯种的）。

符号∀是一个倒写的A，暗示“所有”（All），称为全称变量。符号∃是一个侧写的E，旨在暗示“存在”（exists），称为存在量词。于是第二个句子可以读作

存在一个x，使得x是一匹马且x是纯种的。

通常把逻辑关系如果……，那么……记为⊃，把……且……记为∧。利用这些符号，上面的句子就变成：

(∀x)（x是一匹马⊃x是一个哺乳动物），
(∃x)（x是一匹马∧x是纯种的）。

甚或更简洁地写成：

(∀x)（马（x）⊃哺（x）），
(∃x)（马（x）∧纯（x））。

在上一章中，我们举了乔和苏珊用逻辑来寻求乔的支票本的例子。在那个例子中，我们用字母简化句子如下：

L＝乔把支票本忘在超市。
F＝乔的支票本在超市找到了。
W＝乔昨晚在饭馆开了一张支票。
P＝昨晚开了支票之后，乔把支票本放在了他的夹克口袋里。
H＝乔从昨晚起就没有再用过他的支票本。
S＝乔的支票本仍然再他的夹克口袋里。

他们的推理可以归结为如下模式：

前提：
    如果L，那么F
    非F
    W且P
    如果W并且P并且H，那么S
    H

结论：
    非L
    S

如果用符号¬来表示“非”，并且利用我们已经介绍过的其他符号，则上面的句子就变成：

L⊃F
¬F
W∧P
W∧P∧H⊃S
H
-------
¬L
S

还有最后一个符号：∨表示……或……下表是对我们已经介绍过的符号的总结：

¬ 非……
∨ ……或……
∧ ……且……
⊃ 如果……，那么……
∀ 任何
∃ 某个

在上一章的结尾，我们举了一个逻辑结构无法用布尔的方法进行分析的例子，即

所有失败的学生或是糊涂的或是懒惰的。

而对弗雷格的逻辑而言，它是很简单的。如果用

F（x）表示x是一个失败的学生
S（x）表示x是糊涂的
L（x）表示x是懒惰的

则这个句子可以表示为：

(∀x)（F（x）⊃ S（x）∨ L（x））

现在我们应该很清楚了，弗雷格并不仅仅是对逻辑进行一种数学处理，他实际上创立了一种新的语言。在这一点上，他以莱布尼茨的普遍语言思想为导向，只要恰当地选择符号，语言就可以获得力量。

这种语言的表达能力可以从下面的例子中体现出来，其中我们用L（x，y）来表示x爱y：

每个人都爱某人    (∀x)(∃y)x爱y (∀x)(∃y)L(x, y)
某人爱每个人      (∃x)(∀y)x爱y (∃x)(∀y)L(x, y)
每个人都被某人所爱(∀y)(∃x)x爱y (∀y)(∃x)L(x, y)
某人被每个人所爱  (∃y)(∀x)x爱y (∃y)(∀x)L(x, y)

下面是另外一个例子：

每个人都爱一个情人

我们先把它写成

(∀x)(∀y)[y是一个情人⊃L(x ,y)]

如果我们把“一个情人”理解为“爱某个人”，则我们就可以用（∃z）L（x，z）来代替y是一个情人，最后我们得到：

(∀x)(∀y)[(∃z)L(y, z)⊃L(x,y)]

弗雷格发明形式句法

布尔的逻辑只不过是需要用普通数学方法进行发展的另一数学分支，这当然包括使用逻辑推理。但是用逻辑来发展逻辑有些循环。

在弗雷格看来，这是不可接受的。他的目标是要表明一切数学如何可能被建立在逻辑的基础之上。为了令人信服地做到这一点，弗雷格必须找到某种不用逻辑来发展他的逻辑的方法。

他的解决方法是用铁面无情的精确的语法规则或句法规则把他的概念文字发展成一种人工语言。这就使得逻辑推理表示为机械演算即所谓的推理规则成为可能，这些规则仅仅与排列的样式有关。这也是第一次用精确的句法构造出形式化的人工语言。从这个观点看，概念文字是我们今天使用的所有计算机程序设计语言的前身。

弗雷格最基本的推理规则是这样来使用的：如果◇和△是用费雷格概念文字写成的任意两个句子，那么如果◇和（◇⊃△）都得到断言，则句子△也可以得到断言。关于这一演算，我们只需注意它的执行，而不需要理解⊃是什么意思。

当然，我们可以看出这条规则是不可能导致错误的，因为它仅仅能够使我们从◇和（如果◇，那么△）推出△。但在实际运用这条规则的时候，只需把组成◇这个句子的一个个符号与长句第一部分的符号进行对应。这条规则呗称为“肯定前件推理”（modus ponens）。在那个寻找乔的支票本的例子中，我们的前提是：

W∧P∧H⊃S

如果我们也能够断言W∧P∧H，那么该规则就可以使我们断言所需的结论之一S。下面就是对应的情况：

W∧P∧H⊃S
W∧P∧H

费雷格的逻辑已经成了在数学系，计算机科学系和哲学系教给本科生的标准逻辑，并且间接地帮助图灵提出了一种通用计算机的思想。

我们现在通常称弗雷格的逻辑为一阶逻辑。这是要把它与量词∀和∃既作用于属性又作用于个体的逻辑系统相区别。下面是一个二阶逻辑的句子的例子：

(∀F)(∀G)[(∀x)(F(x)⊃G(x))⊃(∃x)(F(x)⊃(∃x)G(x))]

事实上，弗雷格的缺考虑了属性的量化，从而超越了一阶逻辑，所以我们把一阶逻辑称为“弗雷格的逻辑”是不确切的。

弗雷格的逻辑比布尔的逻辑前进了一大步。第一次有一个精密的数理逻辑体系至少在原则上包含了数学家们通常使用的全部推理。从弗雷格逻辑中的某些前提出发，我们可以尝试运用弗雷格的规则以获得希望得到的结论。